Vamos a ponernos en situación, tenemos una circunferencia: mírala.
Colocamos ahí una hormiga. ¿Está dentro o fuera de la circunferencia? Fácil ¿no? ¡Está dentro! Ok. Vamos a retorcer, estirar o curvar esa línea sin romperla ni que se cruce con ella misma en ningún momento.
Ahora, dónde está la hormiga ¿está dentro o está fuera? Ya no es tan fácil ¿eh? No te preocupes ahora hormiguita, las mates vienen en tu ayuda.
Cómo saber si estáis dentro de un laberinto.
Cualquier curva que se obtiene deformando una circunferencia sin cortarla se llama una curva cerrada simple. Es cerrada porque no tiene dos extremos como esta.
Y es simple porque no se cruza con ella misma. La curva cerrada simple más sencilla que hay es la circunferencia.
Cualquier curva cerrada simple divide el plano en dos regiones, a una la llevamos dentro y otra la llamamos fuera.
Complejísimo ¿no? Pues la verdad es que sí. Atentos.
En matemáticas hay pocas cosas evidentes y ésta no es una de ellas. Esta afirmación tan sencilla se conoce como el teorema de la curva de Jordan, por el matemático francés Camille Jordan.
Si lo queréis en términos matemáticos rigurosos, lo que dice el teorema es, (me encanta enunciar Teoremas en Youtube):
“sease una curva cerrada simple en el plano R 2, entonces el complemento de esa curva R 2 – c tiene dos componentes conexas, una acotada llamada el interior y otra no acotada llamado exterior y la curva c es el borde de esas componentes“.
Una demostración matemáticamente rigurosa de ese teorema no es cosa sencilla. Jordan la dio en 1887 y más tarde en 1905 Veblen dio para curvas sencillas, como la circunferencia de nuestro laberinto, la cosa es bastante evidente. Pero no es para curvas muy complicadas y las hay muy muy muy complicadas como algunos fractales o curvas que no son diferenciables en ningún punto.
En fin, que el teorema es muy importante y tiene múltiples generalizaciones a espacios de dimensión mayor. El teorema de separación de Jordan Brawer es la generalización a n dimensiones.
Generalizaciones a otros tipos de espacios y demostraciones modernas y más simples que las de Jordan o la de Veblen hay muchas. Es uno de los resultados más importantes de una rama de las matemáticas llamada Topología.
Bueno, está bien saber que una curva cerrada distingue dos regiones en el plano pero ¿en cuál de ellas está nuestra hormiga?. Por suerte Jordan investigó formas de determinar si un punto está en el interior o en el exterior de una curva cerrada
Aquí os dejo una que podéis usar para vacilar a quien queráis. Trazar una línea recta desde la hormiga hasta un punto en el exterior de la curva.
Puede que esté lejos pero como el exterior es la parte no acotada, es fácil de encontrar. Ahora contar cuántas veces corta esa recta nuestra curva. Si el número de veces es impar el punto está dentro de la curva y si es par estará fuera de la curva.
Pensadlo un segundo y veréis que es bastante evidente.
Sin esta regla puede ser muy difícil saber si un punto, o una hormiga, están en el interior o en el exterior de una curva. Pruébalo, ya verás como es nuestra recta corta un número impar de veces la curva así que la hormiga está dentro del laberinto y nunca saldrá.