Estás en el supermercado en la fila para pagar. Como siempre, tu fila es la más lenta de todas y entonces decides cambiarte. Error. Ahora tu nueva fila parece la más lenta y lo que es peor, la fila en la que estabas antes parece avanzar como un rayo. ¡Desesperación! ¿Tendrán algo las matemáticas que decir aquí, pueden ayudarnos en estos problemas fundamentales? Tranqui, las matemáticas siempre están ahí. Hoy en derivando, Teoría de Colas.
Las Matemáticas de la Fila del Supermercado
La teoría de filas o de colas es una teoría matemática muy importante utilizada en múltiples aplicaciones como ordenadores, telecomunicaciones, ingeniería, o para modelizar las colas del supermercado, las de las autopistas o las de los aeropuertos.
Esta teoría modeliza filas y proveedores de servicios y su objetivo fundamental es predecir las longitudes de las filas y los tiempos de espera. Estos modelos se usan después para optimizar el sistema, de modo que los tiempos de espera se reduzcan y la gente sea feliz en un mundo de alegría y amor.
La teoría de colas utilizan muchos métodos de la estadística y la teoría de probabilidades y su herramienta principal son las Cadenas de Markov, un hipster en toda regla.
Una cadena de Markov es un proceso estocástico, o sea, un proceso aleatorio que varía con el tiempo, como el mercado de valores, el clima o la población mundial. Las cadenas de Markov se caracterizan por ser procesos que no guardan memoria del pasado, o sea, que la probabilidad de que algo ocurra depende solamente del estado actual del sistema. Nos olvidamos de lo que haya pasado anteriormente.
Mira por ejemplo este diagrama de una cadena de Markov. La probabilidad de que si un día hace sol, al día siguiente también es 0,8 y la de que llueva es 0,2 y eso, es independiente de que haya habido tres días seguidos de sol o llevemos tres meses con lluvias y justo haya salido el sol hoy.
Una cadena Markov es algo así como, un laberinto, en el que en cada bifurcación eliges el camino al azar y la probabilidad de elegir uno u otro, no recuerda si ya habías pasado antes por ahí. Como ves las cadenas de Markov no son adecuadas para los laberintos. Pero que sí que lo son para las filas.
En principio lo que vaya a tardar una persona en pagar en su turno de la cola del supermercado no depende de si los anteriores han tardado mucho o poco, de si eran señoras o señores, que si la caja lleva abierta diez minutos o una hora.
Y de todos esos estudios tan sesudos sobre filas y colas y procesos estocásticos, ¿Hay alguna conclusión que nos pueda servir para nuestra vida cotidiana?
Pues resulta que sí, así que toma nota que tu vida se va a simplificar.
Situación supermercado.
Llegas y hay dos filas, una con muchos carritos, pero que llevan pocas cosas cada uno y otra con pocos carritos pero muy llenos. ¿Cuál escoges? Tu vida puede depender de este momento.
El sentido común y las mates con Markov a la cabeza, te dicen que escojas la fila con…….. Pocos carros, aunque vayan muy llenos. ¿Por qué? Porque dentro del proceso de pasar por la caja, la parte que puede salir mal o tardar más es el momento de pagar.
Se caen las monedas, no llevo cambio, la tarjeta no funciona… Por lo tanto, lo mejor es ir a la fila donde ese momento vaya a ocurrir menos veces. La parte de pasar los productos en principio, es más segura y tarda menos.
Vale. Ya estás en la fila y ves que las otras van más rápidas. ¿Te cambias o no? Bueno, pues aquí Markov es claro: ¡¡da exactamente igual!!. Si hay n las filas de las mismas características, por ejemplo, en el peaje de una autopista, la probabilidad de que estés en la más lenta es 1 entre n. Y si te cambias, la probabilidad de que la nueva sea la más lenta, es exactamente la misma. Porque este proceso no guarda memoria del pasado.
¿Siempre es bueno poner un carril adicional para mejorar el tráfico? Pues sorprendentemente: NO. Y esto se conoce como la paradoja de Braess, que dice que algunas veces añadir un carril nuevo empeora la situación. Hace que el tráfico vaya más lento. Incluso aunque el número de coches sea el mismo.
Esto tan increíble es equivalente a decir, que en algunos casos eliminar un carril ¡mejoraría la situación del tráfico!. Increíble, ¿no? Por eso se llama paradoja. Increíble pero cierto. Ya ha ocurrido en el tráfico de ciudades como Seúl, Stuttgart o Nueva York. Hay que estudiar bien la situación antes de tomar este tipo de decisiones.
¿No se puede hacer nunca nada que mejore la situación?
Sí se puede. Sí hay n proveedores, n cajas en el supermercado, n puestos de seguridad en el aeropuerto…,Lo mejor es, hacer una sola fila y distribuir a la gente en los puestos al llegar.
Todos los problemas y retrasos se distribuyen por igual entre todos los puestos, y el tiempo global de espera se reduce en un factor de n. Esto lo hacen algunos supermercados y casi todos los aeropuertos. Si no lo hicieran, serían mucho más lentos y caóticos los controles de seguridad y los de inmigración.
La gente que trabaja en teoría de colas hace que el tráfico en Internet sea más fluido, que las carreteras funcionen mejor, que suframos menos en los supermercados y que las fábricas estén mejor diseñadas. En fin, que si no quieres esperar de más en la fila, haz caso a las matemáticas.
Aunque no sé. A veces esperando en una fila pueden pasar cosas bonitas. Puedes ganar algunas batallas de Clash Royale, puedes conocer al amor de tu vida, o mejor aún puedes seguir leyendo artículos o viendo vídeos de Derivando.
¡Nos vemos en las filas!