Dobble, es un sencillo juego infantil bastante divertido que puede servir para introducirse en los juegos de mesa. Tranquilo, no es publicidad, y esta gente no me paga ni nada…. Es un juego inocente, pero tras esa aparente inocencia se esconden unas matemáticas potentísimas que te harán explotar la cabeza. Vamos a verlas.
Las mates de este inocente juego
Empecemos hablando de rectas. ¿Qué es una recta? Pffff, pues depende a quién se lo preguntes, nosotros vamos a hablar de Ecuaciones de Rectas. Que las cosas con ecuaciones a veces se entienden mejor. A veces, tampoco nos pasemos.
Una recta en nuestro plano cartesiano de toda la vida de Dios, tiene una de estas ecuaciones.
Rectas Verticales
Rectas Horizontales
Con a distinto de 0 dan las otras rectas
La a y la b se llaman coeficientes y la x y la y se llaman variables. Fijando a , y b si hace falta, ya tienes una recta, por ejemplo:
x=2 ; y=3; y=2x+1 etc
Los coeficientes y las variables pueden tomar valores en los números reales y así tenemos todo un mundo de infinitas rectas. Las posibles elecciones de a y b. Cada una con infinitos puntos, los posibles valores de x e y.
Podemos construir mundos diminutos donde existe solamente un número finito de rectas y un número finito de puntos en cada una. Sé que suena raro pero tiene todo el sentido.
Tomamos un conjunto pequeñito de números y vemos qué podemos hacer con las ecuaciones de las rectas. Existen ciertas condiciones sobre esos conjuntos de números, pero hoy vamos a suponer que se cumplen todas. Por ejemplo, un conjunto pequeñito, el 0 y el 1. Necesitamos saber como multiplicar y como sumar.
Multiplicar es fácil, usamos la multiplicación de siempre:
- 0x0=0
- 0x1=0
- 1×1=1
Y para sumar hacemos:
- 0+0=0
- 1+0=1
- 1+1=0
Con esos números podemos construir cuatro puntos:
[0,0],[1,0],[0,1],[1,1]
Y podemos construir 6 rectas.
- 2 Verticales, x=0, x=1
- 2 Horizontales, y=0, y=1
- 2 de las otras, x=y, x=y+1
Fijaos que cada recta tiene sólo 2 puntos. Por ejemplo la recta x=0 tiene los puntos [0,0] y [0,1]. Y así todas. Esto se llama Plano Afín Finito y como nuestro mundo diminuto tiene sólo 2 elementos, el 0 y el 1, decimos que es un Plano Afín Finito de Orden 2.
Podemos construir otros Planos Finitos más grandes, de orden alguna potencia de cualquier número primo. Pero esto, todavía no nos sirve para jugar al jueguito ese inocente que antes os decía. Necesitamos más. Necesitamos el Plano Proyectivo Finito. Que es un objeto matemático de lo más interesante.
Un Plano Proyectivo decente tiene 2 propiedades fundamentales:
- Todo par de puntos está contenido en una única recta, o sea, por cualesquiera dos puntos pasa una y sólo una recta.
- Todo par de rectas se corta en un único punto.
Como veis nuestro miniplano afín no cumple eso. Las dos rectas horizontales no se cortan, y las dos verticales tampoco. Y las otras dos tampoco. Necesitamos inventar algo, y lo que vamos a hacer es inventar la Recta del Infinito, con puntos de infinito, donde se cruzan las líneas que no se cruzan….pura poesía!
Nuestra línea del infinito va a tener 3 puntos.
- Infinito-verti, que estará en las 2 rectas verticales que por lo tanto se cortarán en él, y en la recta del infinito.
- Infinito-hori, que estará en las 2 rectas horizontales y en la recta del infinito.
- nfinito-obli, que estará en las otras 2 rectas, las oblicuas, y en la recta del infinito.
Y con eso, tenemos un Plano Proyectivo Finito formado por 7 Rectas, las 6 Normales y la del Infinito. 7 Puntos, los 4 normales y los 3 de las recta del infinito. Y cada par de rectas se corta exactamente en un punto. Y por cada par de puntos pasa exactamente una recta, incluso tiene un nombre en matemáticas. Se llama Plano de Fano , Plano Proyectivo de Orden 2. Acordaos que lo hemos construido a partir del conjunto 0,1, que tiene 2 elementos. Y se puede dibujar así:
Planos proyectivos finitos podemos construirlos con órdenes que sean potencias de números primos. Y si el orden es n tendrán:
líneas
puntos
Y en cada línea habrá 
puntos
Y por cada punto pasan líneas
Fijaos en nuestro ejemplo para n=2
Pues ya estamos preparados para el juegutio este de niños.
El Juego Dobble consta de cartas con símbolos en ella. Cada carta tiene 8 dibujitos. Y 2 cartas cualesquiera tienen 1, y exactamente 1 símbolo en común.
El juego consiste en encontrarlo antes que tus rivales, y así quedarte con más cartas cada vez. Parece muy tonto, pero es muy divertido.
Ya, pero como se construye un juego así, como sabemos cuántos símbolos hay que usar. Cuántas cartas necesitamos.
Un momento… yo he oído: dos cartas cualesquiera tienen exactamente 1 y 1 sólo símbolo en común. Haz memoria, no te suena a 2 rectas cualesquiera se juntan exactamente en un y sólo un punto. Exacto! Podemos usar la geometría de los Planos Proyectivos Finitos para construir nuestro juego. Basta que donde pensamos en rectas digamos símbolos y donde pensamos en puntos digamos cartas.
La traducción de la propiedades del plano Proyectivo son dos cartas cualesquiera tienen exactamente un símbolo en común y dos símbolos cualesquiera aparecen juntos exactamente una carta. Esto último no es tan importante para el juego, pero también se cumple. Por ejemplo, nos podemos hacer nuestro Dobble de orde 2, donde habrá 7 símbolos (rectas) y 7 cartas (los puntos) con 3 símbolos por carta. 3 Rectas que se cruzan en cada punto. Lo podemos dibujar como un plano de Fanon, Mirad:
¿Queréis saber algo curioso de verdad?. En el Dobble cada carta tiene 8 símbolos, así que sabemos que es uno más que el orden del plano proyectivo finito correspondiente. O sea que el orden es 7.
Cuántas rectas, osea, ¿cuántos símbolos distintos hay? 57
Y el número de puntos o de cartas es también 57
Sin embargo, el Dobble que venden tiene solo 55 cartas, que bastan para jugar, incluso bastarían menos. Pero matemáticamente… está incompleto, ¿no lo han sabido hacer, o lo han hecho a propósito?
Si tienes el juego te reto a que descubras que dos cartas faltan….¡Que te diviertas!