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El teorema de Sheldon Cooper: El número 73 es único

En el capítulo número 73 de la serie The Big Bang Theory el bueno de  Sheldon  dice que su número favorito es el 73 y que es un número único y no sé que más.

¿Pero es verdad que el 73 es tan especial?

Por cierto, os acordáis de la editorial Shackleton Books que nos pasó aquel libro de “caos y complejidad”, pues tiene otros libros, no sólo de matemáticas sino también de ciencias, como este de “La ciencia de la ciencia ficción“en el que hablan de la ciencia que hay detrás de esas pelis (que molan tanto). Así que bueno, lo podéis encontrar en las librerías lo podéis encontrar en su página web y también en Amazon.

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El teorema de Sheldon Cooper: El número 73 es único

La escena en cuestión es esta:

Sheldon: el mejor número es el 73. Os estaréis preguntando ¿por qué?

Raj y Howard: para nada

Sheldon: el 73 es el vigésimo primer número primo, leído al revés es el 37 que es el décimo segundo, que al revés es el 21, que es el resultado de multiplicar, agarraos fuerte, 7 x 3.

Como veis Sheldon da varias propiedades del número 73 que, hay que admitirlos, son bastante flipantes. Lo que más llama la atención es que el 73 es primo y que es el primo número 21, que es 7 por 3 y que además, si le damos la vuelta 73 es 37, que es primo y que es el primo número 12, que es 21 dado la vuelta.

Son unas propiedades sorprendentes sí pero, ¿es el único número que las tiene? Eso es lo que se preguntaron los matemáticos Byrnes, Spicer y Turnquinst en 2015 cuando definieron las dos propiedades de lo que ellos llamaron, número primo de Sheldon.

Las propiedades son:

  • Propiedad del producto: dijimos que el enésimo número primo tiene la propiedad del producto, si al multiplicar todas sus cifras el resultado da precisamente n. Por ejemplo,  el 73 la cumple, ya que es el primo número 21 y el producto de 7 x 3 es precisamente 21
  • La propiedad espejo: decimos que el reverso de un número es el número que obtenemos con sus cifras en orden inverso. Por ejemplo, el reverso del 1234 es el 4321.

Bueno, pues decimos que el enésimo primo Pn  cumple la propiedad de espejo si el reverso de Pn es primo y ocupa precisamente la posición reversa. Por ejemplo el 73 lo cumple, porque sus reversos el 37 que es primo y ocupa la posición 12, que es la reversa de la 21, precisamente la posición del 73. Lo que Byrnes, Spicer y Turnquinst se preguntaron en 2015 es, si el 73 es el único número que cumple esas dos propiedades.

Y en 2019, Byrnes, Spicer y Turnquinst lo han logrado demostrar y lo publican en un artículo de la prestigiosa revista “American Mathematical Monthly”.

Efectivamente el 73 es el único número que tiene esa propiedad. Es tan único como dice Sheldon vale, ¿pero como se demuestra algo así? Cómo lograron Pomerance y Spicer probar que entre todos los infinitos números primos, sólo el 73 cumple eso. ¿Que no puede haber ninguno de cientos de miles de millones de cifras que tenga esas mismas dos propiedades?. Pues a base de un buen manejo de las propiedades de los números primos y de muy buena técnica de Teoría de Números.

Lo tenéis todo en el artículo que os lo he enlazado en la descripción:Ver artículo

Pero vamos a contarle un poquito aquí. Primero demuestran que si un primo Pn tiene la propiedad del producto, tiene que ser menor a 10 elevado a 45

Para ello usan uno de los teoremas más potentes y hermosos de la Teoría de Números, el Teorema de los Números Primos que fue demostrado por Hadamard y De La Vallée Pousin en 1896. Y que dice que:

π (x) crece como x partido por logaritmo de x, donde π (x) es el número de primos menores o iguales a x, es decir, el número de primos menores a x se va acercando a x entre el logaritmo de x cuando x va creciendo.

Vale, Pomerance y Spicer usan eso de una forma muy chula, para ver que no hay primos con la propiedad del producto mayores que . Bueno bien, es un avance, ya no hay que mirar infinitos primos para encontrar otro primo de Sheldon, pero aún así es  un montón. Hay que acotar eso. Y  eso es lo que hacen en el resto del artículo. Para empezar 73 no es el único primo que cumple la propiedad del producto, también la tienen por ejemplo el séptimo primo  y el primo número 181.440 porque el

¿Son los únicos? Aquí Pomerance y Spicer usan el inverso de la integral logarítmica para tratar de descartar otros primos con la propiedad del producto y aunque logran establecer algunos límites, no es tarea fácil. De modo que toca explorar la propiedad de espejo, ya que un primo de Sheldon ha de tener los dos.

Lo siguiente que hacen ahora es demostrar que todo primo de sheldon de más de 10 cifras tiene que cumplir unas cuantas condiciones sí o sí, que van parejas al hecho de ser primo de Sheldon, por ejemplo, que su primera cifra es 1, 3, 7 ó 9.  Que no tiene ningún factor primo mayor de 7 y así hasta 8 propiedades que nos van a ayudar a descartar candidatos.

Para demostrar estas propiedades los autores hacen uso de mucho conocimiento de los números primos y algunos resultados previos. Bien, pues ahora se ponen a tratar de eliminar todos los candidatos al número primo de Sheldon hasta y usan artillería pesada para establecer cotas más bajas, usan propiedades de la Función de Chebyshev, y un estudio muy fino de la integral logarítmica para ver cómo se separan el inverso de la integral logarítmica del n-ésimo primo.

Usan argumentos de cálculo, métodos interactivos e incluso cálculos computacionales y todo eso para llegar a la última sección del artículo en la que van a por todas.

Primero buscan entre todos los primos de menos de 19 cifras y haciendo uso de todas las propiedades que han desarrollado a lo largo del artículo se quedan con 55 mil y pico candidatos, de los cuales descartan siete mil y pico que son de menos de diez cifras y ahí ya habían visto que sólo hay tres con la propiedad del producto. Y usando las propiedades que han ido demostrando se quedan con seis mil y pico candidatos. Lo van reduciendo hasta quedarse con 309 y van analizando con cuidado sus dígitos para terminar descartándolos todos. Así que empezamos bien, no hay primos de Sheldon con menos de 19 cifras salvo el 73.

Finalmente para los primos de más de 19 cifras y menos de 45, porque de 45 más ya han demostrado que no hay, de nuevo van usando las propiedades que han desarrollado para pasar de un millón y pico de candidatos a 112 mil a 900 y de ahí a 338 que van estudiando hasta ver que ninguno de ellos es primo de Sheldon. Demostrando finalmente el teorema de Sheldon.

El artículo es todo un alarde de técnica y de conocimiento de las herramientas de la teoría de números. Es además, un buen ejemplo de un cierto tipo de demostraciones en matemáticas. estudiar propiedades asociadas a lo que estamos buscando y tratar de eliminar candidatos poco a poco. Finalmente, a veces, hay que usar un ordenador para eliminar a algunos candidatos rebeldes que la teoría no consigue dominar.

Ya veis, el inigualable número 73 nos ha llevado de una conversación en el sofá de The Big Bang Theory a un artículo estupendo de teoría de números- A veces las series de la televisión nos llevan por caminos matemáticos insospechados y luego dicen que ver series es una pérdida de tiempo. Venga ya!

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