Seguro que todos los que habéis pasado por la Secundaria o el Bachillerato habéis sufrido esto de las derivadas.
¿Pero qué son las derivadas? ¿Y para qué sirven?
Las derivadas tienen que ver con las funciones. Así que vamos a hablar de las funciones a través de algún ejemplo sencillo.
¿Qué es una “función”?
Una función es una relación entre unos datos de entrada y unos datos de salida.
Función: Una función entre dos conjuntos A y B, es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un elemento de B.
Aunque ahora no te lo parezca…., sirve para muchas cosas. Pueden representar montones de procesos, de situaciones, de datos…
Por ejemplo, imagínate que voy de mi casa. A casa de mi novia,
Bien!, pues resulta que tardo 30 minutos en llegar.
¿Podría usar una función para describir cuánto espacio llevo recorrido en cada instante de esa media hora? ¡por supuesto!
El dato de entrada es el tiempo y el dato de salida, el espacio recorrido. Si voy todo el tiempo a la misma velocidad, la función tendrá esta pinta:
Y si resulta que me he pillado un caballo y voy más rápido, pero con velocidad constante será así:
¡Fijate!, para recorrer el mismo espacio he tardado menos tiempo y la función tiene una pendiente más alta. Osea, que a mayor velocidad, más inclinada es la gráfica y por contra, a menos velocidad, menos inclinada será nuestra gráfica.
Pero, ¿y si he ido cambiando de velocidad? ¿Cómo será la gráfica?
Imaginaos que hay cuestas, pendientes, que iba distraído mirando el móvil. Entonces la cosa puede tener esta pinta:
Tendríamos una gráfica con variaciones de inclinación.
La derivada es lo que nos va a ayudar a medir en cada punto cómo de rápido iba.
Derivadas
Imagínate que quiero saber que velocidad llevaba en el minuto 15 exactamente.
Puedo medir el espacio que he recorrido entre el minuto 0 y el minuto 30
y después, hacer la media (aunque es una aproximación muy cutre).
Pero en lugar de medir los 30 minutos, podría tomar 5 minutos…., un minuto.…, un segundo…., una décima…., una milésima….
Con una derivada se puede medir el límite del cambio cuando el intervalo de tiempo tiende a 0,es decir, que la función mide el espacio que he recorrido y el tiempo que he empleado. Y lo que está midiendo la derivada, es la velocidad en cada punto.
Lo que pasa es…. que cuando la función tiene una fórmula, se puede mediante una operación matemática con esa fórmula obtener la derivada. Hay fórmulas más sencillas, que son las que se estudian en bachillerato, aunque quienes las estudian, piensen que no hay nada más difícil en el mundo. Y hay otra más complicadas.
Así que si vas a ser ingeniero, matemático, físico, economista… vas a usar derivadas y será mejor que las entiendas.